Matemáticas desde cero

Incógnitas repetidas, potencias y raíces

Lo que aprenderás: Factorizar una incógnita repetida y distinguir una raíz principal de las soluciones de una ecuación cuadrática.

Bases necesarias: Despejes de fórmulas eléctricas

Comprende la idea

Si una incógnita aparece en varios términos, no la despejes por separado. Reúne sus apariciones y factoriza: ax + bx = (a+b)x. Es la distributiva usada al revés. Para E = ax + bx + c, resta c en ambos miembros y divide por a+b solo si a+b ≠ 0.

El caso a+b = 0 no desaparece: la ecuación queda E = c. Si eso se cumple, todos los x satisfacen la ecuación; si no, ninguno. Una fórmula despejada debe declarar sus restricciones. No dividas una ecuación por x sin pensar que podrías perder una solución x = 0.

La raíz cuadrada principal √16 es 4, pero resolver x² = 16 da dos valores reales: x = 4 y x = −4. Ambos cuadrados valen 16. En general √(x²) = |x|, no x para todos los reales. Si la incógnita representa una magnitud física no negativa, esa condición puede elegir la raíz positiva; hay que decirla, no asumirla.

Elevar al cuadrado ambos miembros puede introducir candidatos que no cumplen la ecuación original. En √(x+5) = 3, el dominio real exige x ≥ −5; al cuadrar obtenemos x = 4 y comprobamos √9 = 3. En √(x+5) = −3, no hay solución real porque una raíz principal no es negativa, aunque cuadrar produzca el mismo candidato. Esta lección inicia el tema; no cubre todas las ecuaciones cuadráticas o radicales.

Ejemplo paso a paso

Despejar x en E = ax + bx + c

  1. E − c = ax + bx

    Restamos c a ambos miembros.

  2. E − c = (a + b)x

    Factorizamos la incógnita común x; deshacemos la distributiva.

  3. x = (E − c)/(a + b), si a + b ≠ 0

    Dividimos ambos miembros por el coeficiente total no nulo.

  4. Si a+b = 0, revisar E = c: todos los x o ninguno

    No podemos dividir entre cero; analizamos ese caso en la ecuación original.

Comprobación: Para E = 14, a = 3, b = 2 y c = 4, x = 2. La original vale 3·2 + 2·2 + 4 = 14.

Incógnita repetida en paralelo: despejar R2 en Req = R1R2/(R1+R2)

  1. Req(R1 + R2) = R1R2, con R1 + R2 ≠ 0

    Multiplicamos ambos miembros por el denominador original no nulo.

  2. ReqR1 + ReqR2 = R1R2

    Distribuimos Req sobre la suma.

  3. ReqR1 = R1R2 − ReqR2

    Restamos ReqR2 a ambos miembros para reunir las apariciones de R2.

  4. ReqR1 = (R1 − Req)R2

    Factorizamos la incógnita común R2.

  5. R2 = ReqR1/(R1 − Req), si R1 − Req ≠ 0

    Dividimos ambos miembros por el coeficiente total; no dividimos entre cero.

Comprueba: Con Req = 2 Ω y R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω. La original da 6·3/(6+3) = 2 Ω y sus denominadores son admisibles.

Explícalo sin mirar

Explica por qué √16 = 4 y x² = 16 tiene dos soluciones. ¿Qué condición adicional seleccionaría solo una?

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Fuentes y alcance

Explicaciones y ejemplos originales de ElectroAprende. Consulta estas referencias para profundizar; los libros comerciales no se reproducen aquí.

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