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Lección 11 de 12

Incógnitas repetidas, potencias y raíces

Al terminar: Factorizar una incógnita repetida y distinguir una raíz principal de las soluciones de una ecuación cuadrática.

Base recomendada:

Si una incógnita aparece en varios términos, no la despejes por separado. Reúne sus apariciones y factoriza: ax + bx = (a+b)x. Es la distributiva usada al revés. Para E = ax + bx + c, resta c en ambos miembros y divide por a+b solo si a+b ≠ 0.

El caso a+b = 0 no desaparece: la ecuación queda E = c. Si eso se cumple, todos los x satisfacen la ecuación; si no, ninguno. Una fórmula despejada debe declarar sus restricciones. No dividas una ecuación por x sin pensar que podrías perder una solución x = 0.

La raíz cuadrada principal √16 es 4, pero resolver x² = 16 da dos valores reales: x = 4 y x = −4. Ambos cuadrados valen 16. En general √(x²) = |x|, no x para todos los reales. Si la incógnita representa una magnitud física no negativa, esa condición puede elegir la raíz positiva; hay que decirla, no asumirla.

Elevar al cuadrado ambos miembros puede introducir candidatos que no cumplen la ecuación original. En √(x+5) = 3, el dominio real exige x ≥ −5; al cuadrar obtenemos x = 4 y comprobamos √9 = 3. En √(x+5) = −3, no hay solución real porque una raíz principal no es negativa, aunque cuadrar produzca el mismo candidato. Esta lección inicia el tema; no cubre todas las ecuaciones cuadráticas o radicales.

EJEMPLO RESUELTO

Despejar x en E = ax + bx + c

1
E − c = ax + bx
Por qué: Restamos c a ambos miembros.
2
E − c = (a + b)x
Por qué: Factorizamos la incógnita común x; deshacemos la distributiva.
3
x = (E − c)/(a + b), si a + b ≠ 0
Por qué: Dividimos ambos miembros por el coeficiente total no nulo.
4
Si a+b = 0, revisar E = c: todos los x o ninguno
Por qué: No podemos dividir entre cero; analizamos ese caso en la ecuación original.

Comprueba: Para E = 14, a = 3, b = 2 y c = 4, x = 2. La original vale 3·2 + 2·2 + 4 = 14.

EJEMPLO RESUELTO

Incógnita repetida en paralelo: despejar R2 en Req = R1R2/(R1+R2)

1
Req(R1 + R2) = R1R2, con R1 + R2 ≠ 0
Por qué: Multiplicamos ambos miembros por el denominador original no nulo.
2
ReqR1 + ReqR2 = R1R2
Por qué: Distribuimos Req sobre la suma.
3
ReqR1 = R1R2 − ReqR2
Por qué: Restamos ReqR2 a ambos miembros para reunir las apariciones de R2.
4
ReqR1 = (R1 − Req)R2
Por qué: Factorizamos la incógnita común R2.
5
R2 = ReqR1/(R1 − Req), si R1 − Req ≠ 0
Por qué: Dividimos ambos miembros por el coeficiente total; no dividimos entre cero.

Comprueba: Con Req = 2 Ω y R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω. La original da 6·3/(6+3) = 2 Ω y sus denominadores son admisibles.

Error frecuente: Olvidar la raíz negativa al resolver x² = 16, dividir entre un coeficiente que puede ser cero o no comprobar después de elevar al cuadrado.

Sin mirar el ejemplo: Explica por qué √16 = 4 y x² = 16 tiene dos soluciones. ¿Qué condición adicional seleccionaría solo una?

Fuentes y alcance de esta ruta

Bibliografía para «Incógnitas repetidas, potencias y raíces». CCH-UNAM ofrece recursos en español. Los capítulos de Elementary Algebra 2e de OpenStax conservan su título e idioma original; todas nuestras explicaciones y actividades están en español. No hemos copiado capítulos ni ofrecemos certificados de dominio.

La progresión ejemplo → práctica guiada → problema sin pistas y la recuperación posterior siguen recomendaciones de la guía de aprendizaje del IES/WWC. No garantizan aprobar una carrera. Los intervalos de 1, 3, 7, 14 y 30 días son una decisión inicial de la plataforma, no una fórmula universal. Los pasos escritos y las explicaciones aún requieren revisión humana.