Números complejos: componentes, módulo y fase

Un número complejo z=a+jb tiene dos componentes reales: Re(z)=a e Im(z)=b. En ingeniería usamos j para no confundir la unidad imaginaria con la corriente i. j²=−1. La parte imaginaria de 3−2j es −2, no −2j. Representa a en el eje horizontal y b en el vertical del plano complejo.

Para sumar o restar, combina componentes correspondientes: (a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d). Para multiplicar, distribuye todos los términos y reemplaza j² por −1: (a+jb)(c+jd)=(ac−bd)+j(ad+bc). El signo del producto de las componentes imaginarias cambia por j², no por una regla arbitraria.

El conjugado de a+jb es a−jb: conserva la componente real e invierte la imaginaria. Su producto con el original es a²+b². Para dividir por un complejo distinto de cero, multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. No dividas las componentes por separado; ese procedimiento no conserva la división compleja.

El módulo |z|=√(a²+b²) es una distancia y es no negativo. La fase θ es la dirección medida desde el eje real positivo. Usa atan2(b,a), comprobando si la calculadora devuelve grados o radianes. Si solo usas arctan(b/a), debes corregir el cuadrante: 4+4j y −4−4j tienen el mismo cociente b/a pero direcciones opuestas.

Aquí usamos fase principal en (−180°,180°]. Para z=0, el módulo es cero y la fase está indefinida. Un mismo número no nulo admite ángulos que difieren en vueltas completas; 225° y −135° describen la misma dirección, pero esta ruta pide el segundo para mantener una convención.

Forma polar: z=r∠θ=r(cos θ+j sin θ), con r=|z|. Para volver a rectangular: a=r cos θ y b=r sin θ, usando el mismo modo angular. En polar, multiplicar suma fases y multiplica módulos; dividir resta fases y divide módulos, con denominador no nulo. Sumar exige volver a componentes: los módulos no se suman directamente.