# ElectroAprende · Matemáticas desde cero

Guía de nivelación en español. Material original, académico; no sustituye una asignatura universitaria completa.

Cómo estudiar: lee una explicación, desarrolla el ejemplo, tápalo e intenta los problemas en papel. Comprueba después. Las soluciones están al final para evitar mirarlas mientras practicas.

## 1. Números, signos y operaciones

Objetivo: Interpretar un signo y calcular sin confundir una resta con el signo de un número.

Un número positivo o negativo indica una posición respecto a una referencia. En electricidad, una corriente negativa no es una corriente imposible: suele indicar que circula en sentido contrario al que elegimos como positivo. Antes de calcular, dibuja la referencia o una recta numérica.

Sumar un positivo desplaza hacia la derecha; sumar un negativo, hacia la izquierda. Por eso 5 + (−8) = −3. Restar un número equivale a sumar su opuesto: 5 − (−8) = 5 + 8. Los paréntesis distinguen la operación de resta del signo del número.

Al multiplicar o dividir dos números, signos iguales producen un resultado positivo y signos distintos uno negativo. Esa regla no se usa para sumar: −3 + (−2) = −5, pero (−3) × (−2) = 6. Nunca se divide entre cero: no existe un número que multiplicado por cero produzca 6.

### Ejemplo: Resolver 7 − (−3) + (−12)

1. 7 − (−3) + (−12) = 7 + 3 − 12
   Por qué: Restar −3 es sumar su opuesto, +3. Sumar −12 equivale a restar 12.

2. 7 + 3 = 10; después 10 − 12 = −2
   Por qué: Recorremos 12 unidades hacia la izquierda desde 10.

Comprobación: Comprobación inversa: −2 + 12 − 3 = 7; recuperamos el valor inicial.

Error frecuente: Aplicar «menos por menos es más» a una suma. Primero identifica la operación.

Sin mirar: Sin mirar el ejemplo: ¿por qué restar un número negativo equivale a sumar su opuesto? Escribe una comprobación en una recta numérica.

### Para practicar

1. Ya convertimos 6 − (−4) − 13 en 6 + 4 − 13. Completa el cálculo.

2. Calcula −9 + 14 − (−2).
   ¿Qué escritura conserva el valor al eliminar el doble signo?
   1) −9 + 14 − 2 | 2) −9 + 14 + 2 | 3) 9 + 14 + 2

3. Calcula (−24)/(−6).

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Ley de los signos (español): https://e1.portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad1/OpNumerosEnteros/leySignos

## 2. Fracciones: el tamaño de las partes

Objetivo: Reconocer fracciones equivalentes, simplificar y sumar sin cambiar el tamaño de las partes.

En a/b, a es el numerador y b el denominador, con b distinto de cero. Si una unidad se divide en cuatro partes iguales, 3/4 representa tres de esas partes. La barra también significa división: 3/4 = 0,75. Una fracción puede ser mayor que uno: 5/4 es una unidad y un cuarto, no un error.

Multiplicar o dividir numerador y denominador por el mismo número no nulo conserva la cantidad. Por ejemplo, 2/3 = 4/6 porque ambos describen la misma porción de la unidad. Simplificar 18/24 a 3/4 consiste en dividir arriba y abajo entre 6. No puedes dividir solo el numerador: cambiarías la cantidad.

Para sumar o restar, las partes deben tener el mismo tamaño. Por eso usamos un denominador común. El mínimo común múltiplo (MCM) es el menor múltiplo positivo que comparten los denominadores: para 6 y 4 es 12. En 1/2 + 1/3 no se suman denominadores: convertir a sextos da 3/6 + 2/6 = 5/6.

Al multiplicar fracciones, multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para dividir por una fracción no nula, multiplica por su recíproco: (−2/3) ÷ (4/9) = (−2/3) × (9/4) = −18/12 = −3/2. El recíproco de a/b es b/a solo si a y b son distintos de cero. Estas operaciones aparecen al calcular resistencias en paralelo.

### Ejemplo: Restar 5/6 − 1/4

1. Múltiplos de 6: 6, 12…; de 4: 4, 8, 12…
   Por qué: El denominador común mínimo es 12; vamos a medir ambas cantidades en doceavos.

2. 5/6 = (5 × 2)/(6 × 2) = 10/12
   Por qué: Multiplicamos arriba y abajo por 2; la cantidad se conserva.

3. 1/4 = (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12
   Por qué: Convertimos la segunda cantidad al mismo tamaño de parte.

4. 10/12 − 3/12 = 7/12
   Por qué: Restamos cantidades de doceavos, no sus tamaños.

Comprobación: 7/12 + 1/4 = 7/12 + 3/12 = 10/12 = 5/6. La suma deshace la resta.

Error frecuente: Sumar denominadores o cancelar términos separados por una suma. Solo se cancelan factores comunes de un producto.

Sin mirar: Explica con un dibujo por qué 1/2 + 1/3 no puede ser 2/5. ¿La suma debe ser mayor o menor que 1/2?

### Para practicar

1. Para 1/3 + 1/6 ya escribimos 1/3 = 2/6. Calcula 2/6 + 1/6.

2. Calcula 3/4 + 5/8. Puedes introducir una fracción.
   ¿Qué transformación conserva 3/4 y permite sumar octavos?
   1) 3/4 = 3/8 | 2) 3/4 = 6/8 | 3) 3/4 = 7/8

3. Calcula (−2/3) ÷ (4/9).

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Operaciones con números racionales (español): https://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad1/operacionesNumerosRacionales

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §1.6 (original en inglés; guía en español): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-6-add-and-subtract-fractions

## 3. Orden de operaciones y paréntesis

Objetivo: Leer una expresión sin ambigüedad y respetar la prioridad y el agrupamiento de operaciones.

Una expresión matemática necesita reglas de lectura compartidas. Primero resuelve las agrupaciones, empezando por las internas; después las potencias; luego multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha; finalmente sumas y restas, de izquierda a derecha. No es correcto decir que multiplicar siempre va antes que dividir.

Los paréntesis cambian qué números participan juntos. 12/(2 + 4) = 2, mientras que 12/2 + 4 = 10. En el divisor de tensión Vsal = Vs·R2/(R1 + R2), omitir los paréntesis cambia el modelo. La barra de una fracción agrupa todo el numerador y todo el denominador; al escribir en una calculadora, usa paréntesis para conservar esa agrupación.

En (−4)² la base completa es −4 y el resultado es 16. En −4², la potencia afecta al 4 y luego se aplica el signo: −(4²) = −16. Si una escritura como 6/2(1+2) es ambigua en una calculadora, no adivines: reescribe explícitamente (6/2)·(1+2) o 6/[2·(1+2)] según el modelo que quieras representar.

Una estimación sencilla ayuda a detectar errores. Si divides 12 entre 2 + 4, el resultado debe ser menor que 12/2 porque el denominador es mayor. La calculadora no sustituye esta lectura: puede calcular correctamente una expresión que introdujiste mal.

### Ejemplo: Resolver 18 ÷ 3 × 2 − (5 − 8)²

1. 5 − 8 = −3
   Por qué: Resolvemos primero la agrupación.

2. (−3)² = (−3)(−3) = 9
   Por qué: El signo pertenece a la base, porque está dentro del paréntesis.

3. 18 ÷ 3 × 2 = 6 × 2 = 12
   Por qué: División y multiplicación tienen igual prioridad; recorremos de izquierda a derecha.

4. 12 − 9 = 3
   Por qué: La resta se realiza después de las operaciones prioritarias.

Comprobación: Reescribe de otra forma: [(18/3)·2] − [(−3)·(−3)] = 12 − 9 = 3.

Error frecuente: Calcular 18/(3 × 2) sin que el denominador esté agrupado, o tratar −4² como (−4)².

Sin mirar: Explica por qué 12/(2+4) y 12/2+4 son expresiones diferentes. Escribe sus resultados sin calculadora.

### Para practicar

1. En 2 + 3 × 4 ya calculamos 3 × 4 = 12. Completa 2 + 12.

2. Calcula 24 ÷ 6 × 2 + 3.
   ¿Cómo agrupas correctamente el bloque de división y multiplicación?
   1) 24 ÷ (6 × 2) | 2) (24 ÷ 6) × 2 | 3) (24 + 3) ÷ 6 × 2

3. Calcula −4² + (−4)².

Bibliografía:

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §1.2 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-2-use-the-language-of-algebra

## 4. Potencias y notación científica

Objetivo: Interpretar exponentes negativos y operar cantidades muy grandes o pequeñas sin perder su orden de magnitud.

Para un exponente entero positivo, aⁿ es un producto de n factores iguales a a. Si a ≠ 0, a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ. El exponente negativo significa recíproco, no signo negativo: 10⁻³ = 1/1000 = 0,001. En esta ruta no usaremos 0⁰ como una regla de cálculo.

Al multiplicar potencias de la misma base, suma exponentes: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Al dividir, resta exponentes, con base no nula: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Una potencia de otra potencia multiplica los exponentes. No puedes aplicar esas reglas a sumas: 10² + 10³ no es 10⁵.

En notación científica escribimos c·10ⁿ con 1 ≤ |c| < 10. Así, 4700 = 4,7·10³ y 0,00047 = 4,7·10⁻⁴. Si mueves la coma hacia la derecha para obtener c, el exponente de un número pequeño debe compensarlo hacia abajo. Comprueba siempre volviendo a decimal.

Antes de operar con prefijos eléctricos, transforma las cantidades a una unidad común. 100 µF = 100·10⁻⁶ F = 10⁻⁴ F. Esto evita interpretar micro como mili. Para introducir notación científica en los ejercicios usa, por ejemplo, 4,7e-4; no escribas símbolos de unidades en el campo numérico.

### Ejemplo: Multiplicar (3·10³)(4·10⁻⁵)

1. 3 × 4 = 12
   Por qué: Separamos el producto de los coeficientes.

2. 10³·10⁻⁵ = 10³⁻⁵ = 10⁻²
   Por qué: Las potencias tienen la misma base, por lo que se suman exponentes.

3. 12·10⁻² = 1,2·10⁻¹ = 0,12
   Por qué: Normalizamos el coeficiente entre 1 y 10 sin cambiar el valor.

Comprobación: 3000 × 0,00004 = 0,12. La conversión a decimal confirma el orden de magnitud.

Error frecuente: Interpretar 10⁻³ como −1000 o sumar exponentes cuando estás sumando cantidades, no multiplicándolas.

Sin mirar: ¿Por qué 10⁻² es positivo? Explica qué factor compensa mover la coma en 12·10⁻².

### Para practicar

1. Usando 10⁻³ = 1/1000, calcula 7 × 10⁻³.

2. Calcula (2³·2⁻⁵)/2⁻¹.
   ¿Qué exponente queda al operar?
   1) 3 − 5 − (−1) = −1 | 2) 3 − 5 + (−1) = −3 | 3) 3 × (−5) ÷ (−1) = 15

3. Calcula (2 × 10⁴)(3 × 10⁻⁶).

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Operaciones con potencias (español): https://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad1/OperacionesPotencias

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §6.7 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/6-7-integer-exponents-and-scientific-notation

## 5. Razones y proporcionalidad

Objetivo: Distinguir proporcionalidad directa e inversa y justificar cuándo puedes usar una regla de tres.

Una razón compara dos cantidades mediante un cociente. Si 4 cuadernos cuestan 12 unidades monetarias, 12/4 = 3 es el precio por cuaderno. Con precio unitario constante, duplicar cuadernos duplica el costo. Esa relación es proporcional directa: y = kx y la razón y/x permanece constante cuando x ≠ 0.

En la proporcionalidad inversa permanece constante el producto: xy = k. Con una tensión fija, I = V/R; si duplicas R, la corriente se reduce a la mitad. No es una relación directa. Pregunta siempre qué permanece constante y qué condiciones permiten suponerlo.

Una regla de tres no es válida para cualquier relación. Un costo con cuota fija más precio por unidad, y = 5 + 3x, no es proporcional directa: al duplicar x no se duplica y. Para comprobar proporcionalidad, revisa varias razones y si el modelo pasa por el origen; no basta con que ambas cantidades crezcan.

En un conductor uniforme, R = ρL/A. R es proporcional a L si la resistividad, la sección y la temperatura se mantienen. Si cambias al mismo tiempo la sección, ya no puedes usar una regla de tres basada solo en longitud. En ingeniería, describir las condiciones del modelo es tan importante como calcular.

### Ejemplo: Un conductor uniforme tiene 0,10 Ω en 2 m. Hallar R para 7 m, con material, sección y temperatura constantes.

1. R/L = k = 0,10 Ω / 2 m = 0,05 Ω/m
   Por qué: La relación directa se apoya en mantener constantes los otros factores del modelo.

2. R = kL = 0,05 Ω/m × 7 m = 0,35 Ω
   Por qué: Multiplicamos la resistencia por metro por la nueva longitud.

3. 0,35/7 = 0,10/2 = 0,05
   Por qué: La razón constante verifica la proporcionalidad.

Comprobación: 7 m son 3,5 veces 2 m; 0,35 Ω también es 3,5 veces 0,10 Ω.

Error frecuente: Aplicar regla de tres sin identificar una razón o un producto constante, o ignorar que cambiaron otras condiciones.

Sin mirar: Con tensión fija, ¿por qué duplicar la resistencia no duplica la corriente? Explica la diferencia entre razón constante y producto constante.

### Para practicar

1. 4 cuadernos cuestan 12 unidades monetarias. Ya hallamos precio unitario 12/4 = 3. ¿Cuánto cuestan 6 al mismo precio?

2. El mismo conductor uniforme mide 5 m y tiene 0,20 Ω. Sin cambiar material, sección ni temperatura, ¿qué resistencia en Ω tendrá con 8 m?
   ¿Qué conserva este modelo al cambiar solo la longitud?
   1) R/L | 2) R × L | 3) R + L

3. Una fuente ideal mantiene 24 V. Una resistencia pasa de 6 Ω a 12 Ω. Usando I = V/R, introduce la corriente final en A.

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Variación directamente proporcional (español): https://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad2/variacion-directamente-proporcional

## 6. Unidades, prefijos y dimensiones

Objetivo: Convertir cantidades eléctricas y comprobar si las unidades del resultado son coherentes.

Una cantidad física incluye número y unidad. 5 A no es lo mismo que 5 mA. El prefijo modifica la escala: kilo (k) = 10³, mili (m) = 10⁻³, micro (µ) = 10⁻⁶, nano (n) = 10⁻⁹ y mega (M) = 10⁶. Las mayúsculas importan: m y M no representan el mismo factor.

Una conversión cambia cómo escribes una cantidad, no su valor físico. 250 mA × (1 A/1000 mA) = 0,25 A: se cancela mA. El factor entre paréntesis equivale a uno porque 1 A y 1000 mA son la misma cantidad. Escribe la unidad en cada línea para ver si el factor está al derecho o al revés.

Para áreas o volúmenes, eleva también el factor de conversión. Como 1 mm = 10⁻³ m, 1 mm² = (10⁻³ m)² = 10⁻⁶ m². En una fórmula de resistencia, convertir sección como si fuera una longitud cambia el resultado mil veces. Tiempo también requiere conversión: 120 ms = 0,120 s; 2 min = 120 s.

Una comprobación dimensional pregunta qué unidad produce la fórmula. En I = V/R, V/Ω = A. En P = VI, V·A = W. No puedes sumar 2 V + 3 A como una cantidad única. Unas unidades coherentes son necesarias, pero no garantizan que hayas elegido el modelo correcto ni convertido bien el valor numérico.

### Ejemplo: Calcular I = 9 V / 1,5 kΩ

1. 1,5 kΩ × (1000 Ω/1 kΩ) = 1500 Ω
   Por qué: Usamos ohmios para trabajar con unidades coherentes y cancelamos kΩ.

2. I = 9 V/1500 Ω = 0,006 A
   Por qué: V/Ω corresponde a amperios.

3. 0,006 A × (1000 mA/1 A) = 6 mA
   Por qué: La cantidad no cambia al expresarla en una unidad más pequeña.

Comprobación: 0,006 A × 1500 Ω = 9 V. Recuperamos la tensión y sus unidades.

Error frecuente: Multiplicar por 1000 al pasar de mA a A o usar 10⁻³ para convertir mm² a m².

Sin mirar: ¿Por qué la conversión de un área requiere elevar el factor al cuadrado? Escribe dos factores de longitud separados para explicarlo.

### Para practicar

1. Usando 1 mA = 10⁻³ A, convierte 2,2 mA a A.

2. Convierte 3,6 mm² a m². Introduce solo el número, por ejemplo en notación e.
   ¿Qué factor convierte mm² a m²?
   1) 10⁻³ | 2) 10⁻⁶ | 3) 10⁶

3. Por una sección pasan 0,36 C en 120 ms. Usando I = Q/t, calcula la corriente media en A.

Bibliografía:

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §1.10 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-10-systems-of-measurement

## 7. Letras, distribución y términos semejantes

Objetivo: Interpretar expresiones algebraicas y simplificarlas conservando su valor.

Una letra puede representar una cantidad desconocida, variable o parámetro. La expresión 3x significa 3 multiplicado por x; no es un número de dos cifras. Una expresión como 3x + 2 no afirma una igualdad. La ecuación 3x + 2 = 11 sí establece una condición que permite buscar x.

La propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac se entiende como multiplicar la suma completa por a. El factor afecta a todos los términos, incluido su signo: −2(x + 4) = −2x − 8. Si el paréntesis está restado, piensa en un factor −1: −(x − 3) = −x + 3.

Solo los términos con la misma parte literal son semejantes. 6x − 2x = 4x porque hay seis cantidades x y se quitan dos. En cambio, 6x − 2y no se reduce a 4x, salvo condiciones adicionales que no están dadas. Tampoco x y x² son semejantes.

Simplificar conserva el valor para todas las entradas permitidas; resolver una ecuación busca las entradas que cumplen una condición. Sustituir un valor es útil para detectar una simplificación incorrecta, pero un solo valor coincidente no demuestra identidad. Justifica la transformación con distribución, asociación o agrupación de términos semejantes.

### Ejemplo: Simplificar 3(2x − 1) − 2(x + 4)

1. 3(2x − 1) = 6x − 3
   Por qué: El factor 3 multiplica cada término del primer paréntesis.

2. −2(x + 4) = −2x − 8
   Por qué: Distribuimos el factor completo, incluido el signo negativo.

3. 6x − 3 − 2x − 8 = (6x − 2x) + (−3 − 8) = 4x − 11
   Por qué: Agrupamos términos semejantes; x no se mezcla con las constantes.

Comprobación: Con x = 2: la original vale 3(4−1)−2(2+4) = −3; la simplificada 4·2−11 también vale −3. La distributiva justifica la identidad, no solo esta sustitución.

Error frecuente: Distribuir un factor solo al primer término, perder el signo negativo o sumar términos con distintas letras o potencias.

Sin mirar: Explica por qué 2(x + 3) no equivale a 2x + 3. Comprueba usando x = 1 y después justifica con la distributiva.

### Para practicar

1. Ya simplificamos 2(x + 3) a 2x + 6. Evalúa la expresión para x = 4.

2. Simplifica 2(3a − 4) + a en papel y luego evalúa para a = 2.
   ¿Cuál simplificación conserva la expresión para cualquier a?
   1) 7a − 4 | 2) 7a − 8 | 3) 6a − 8

3. Simplifica −3(x − 2) + 5x en papel y evalúa para x = −1.

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Lenguaje algebraico (español): https://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad3/lenguajealgebraico

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §1.9 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-9-properties-of-real-numbers

## 8. Ecuaciones: mantener el equilibrio

Objetivo: Resolver una ecuación lineal aplicando la misma operación a ambos miembros y comprobar por sustitución.

Una ecuación afirma que dos expresiones tienen el mismo valor. La incógnita es el valor que hace verdadera esa igualdad. Resolver no es «mover letras»: es producir igualdades equivalentes hasta aislar la incógnita.

Podemos sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros; también multiplicarlos o dividirlos por el mismo número distinto de cero. Si modificamos solo un miembro, generalmente destruimos la igualdad. Escribe las dos operaciones, aunque después puedas abreviar.

Deshacer operaciones requiere orden inverso. En 3x + 6 = 21, x primero se multiplica por 3 y luego recibe +6: para aislarla, resta 6 y después divide entre 3. Una vez hallado x, vuelve a la ecuación original y sustituye; el resultado debe hacer iguales ambos miembros.

### Ejemplo: Resolver 3x + 6 = 21

1. 3x + 6 − 6 = 21 − 6
   Por qué: Restamos 6 en ambos miembros para deshacer la suma sin alterar la igualdad.

2. 3x = 15
   Por qué: +6 − 6 = 0 en el miembro izquierdo.

3. 3x/3 = 15/3; x = 5
   Por qué: Dividimos ambos miembros entre el coeficiente 3, que no es cero.

Comprobación: Sustituimos x = 5 en la ecuación original: 3 × 5 + 6 = 21. Los dos miembros valen 21.

### Otro ejemplo: Cuando x aparece en ambos miembros: 2(3x − 2) + 1 = 4x + 7

1. 6x − 4 + 1 = 4x + 7; 6x − 3 = 4x + 7
   Por qué: Distribuimos el 2 y reunimos constantes; la expresión de la izquierda conserva su valor.

2. 6x − 3 − 4x = 4x + 7 − 4x; 2x − 3 = 7
   Por qué: Restamos 4x en ambos miembros para reunir las apariciones de la incógnita.

3. 2x − 3 + 3 = 7 + 3; 2x = 10
   Por qué: Sumamos 3 en ambos miembros para eliminar la constante de la izquierda.

4. 2x/2 = 10/2; x = 5
   Por qué: Dividimos ambos miembros entre el coeficiente no nulo 2.

Comprobación: En la original, la izquierda vale 2(15−2)+1 = 27; la derecha 4·5+7 = 27. La igualdad se cumple.

Error frecuente: Decir que el 3 «pasa restando». El 3 está multiplicando: su operación inversa es dividir ambos miembros entre 3.

Sin mirar: ¿Qué dos operaciones deshacen 4x − 8 = 12? Escribe cada una en ambos miembros y comprueba tu solución.

### Para practicar

1. En 4x + 8 = 28 ya restamos 8 en ambos miembros: 4x = 20. ¿Cuánto vale x?

2. Resuelve 5x − 7 = 18 e introduce x.
   ¿Cuál es el primer paso que conserva la igualdad y elimina −7?
   1) Restar 7 solo a la derecha | 2) Sumar 7 a ambos miembros | 3) Dividir solo 18 entre 5

3. Resuelve 2(3x − 2) + 5 = 4x + 9 e introduce x.

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Ecuaciones lineales (español): https://e1.portalacademico.cch.unam.mx/alumno/aprende/matematicas1/ecuacioneslineales

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §2.3 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/2-3-solve-equations-with-variables-and-constants-on-both-sides

## 9. Ecuaciones con fracciones

Objetivo: Eliminar denominadores sin omitir términos y comprobar las restricciones de una ecuación racional.

Una ecuación puede contener fracciones y seguir siendo sencilla de resolver. Multiplicar ambos miembros por un denominador común no cambia las soluciones si ese multiplicador es distinto de cero. Para denominadores constantes, usa el MCM y distribuye la multiplicación a todos los términos de ambos miembros.

En (x−1)/3 + x/2 = 4, multiplicar por 6 significa 6·[(x−1)/3 + x/2] = 6·4. No significa multiplicar solo la primera fracción. El resultado 2(x−1) + 3x = 24 evita fracciones y conserva la igualdad; ahora aplicamos los pasos de la lección anterior.

Si un denominador contiene la incógnita, primero anota qué valores no se permiten. En 2/(x−1) = 1, x no puede ser 1. Para x ≠ 1 podemos multiplicar ambos miembros por x−1, obtener 2 = x−1 y hallar x = 3. La sustitución original comprueba que 2/(3−1) = 1 y que el denominador no se anula.

No canceles x en (x+2)/x: x+2 es una suma, no un producto con factor x común. También hay ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones: 4(x+1)=4x+4 se cumple para todo real; 4(x+1)=4x+5 lleva a 4=5 y no tiene solución. No fuerces un único número si las operaciones válidas muestran otra cosa.

### Ejemplo: Resolver (x − 1)/3 + x/2 = 4

1. 6·[(x − 1)/3 + x/2] = 6·4
   Por qué: 6 es el MCM de 3 y 2; multiplica toda la igualdad.

2. 2(x − 1) + 3x = 24
   Por qué: Cancelamos factores 6/3 y 6/2, no términos de una suma.

3. 2x − 2 + 3x = 24; 5x − 2 = 24
   Por qué: Distribuimos y agrupamos los términos semejantes.

4. 5x − 2 + 2 = 24 + 2; 5x = 26; x = 26/5
   Por qué: Sumamos 2 y después dividimos por 5 en ambos miembros.

Comprobación: Con x = 26/5: (26/5−1)/3 + (26/5)/2 = 7/5 + 13/5 = 4. Los denominadores originales son distintos de cero.

Error frecuente: Multiplicar solo un término por el MCM, cancelar a través de una suma o aceptar un denominador cero.

Sin mirar: En 2/(x−1) = 1, ¿qué valor debes excluir antes de multiplicar por x−1? ¿Por qué la comprobación se hace en la ecuación original?

### Para practicar

1. En x/5 + 1/2 = 3/2 ya restamos 1/2 a ambos miembros y queda x/5 = 1. ¿Cuánto vale x?

2. Resuelve (x + 2)/4 − x/6 = 1 e introduce x.
   ¿Qué igualdad resulta al multiplicar TODA la ecuación por 12?
   1) 3(x+2) − 2x = 12 | 2) 3(x+2) − x/6 = 1 | 3) (x+2) − x = 12

3. Resuelve 2/(x − 1) = 1 e introduce x.
   ¿Qué valor está prohibido por el denominador original?
   1) x = 0 | 2) x = 1 | 3) x = 3

Bibliografía:

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §2.5 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/2-5-solve-equations-with-fractions-or-decimals

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §8.6 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/8-6-solve-rational-equations

## 10. Despejes de fórmulas eléctricas

Objetivo: Aislar una variable en productos y cocientes, indicando las condiciones que permiten dividir.

Despejar una fórmula es resolverla para la variable que necesitas, dejando las demás como parámetros. En V = IR, si buscamos I y R ≠ 0, dividimos ambos miembros por R: V/R = IR/R; por tanto I = V/R. Si buscamos R y I ≠ 0, dividimos por I. No se «invierte la fórmula» completa sin identificar la incógnita.

Cuando la incógnita está en un denominador, no la puedes sacar restando. En v = d/t, con t ≠ 0, multiplicamos ambos miembros por t: vt = d. Si v ≠ 0, dividimos por v: t = d/v. Las condiciones importan: dividir por un parámetro cero puede excluir casos que requieren análisis separado.

Una fórmula con suma en el denominador necesita conservar los paréntesis. En Vo = Vs·R2/(R1+R2), primero exigimos R1+R2 ≠ 0. Al multiplicar ambos miembros por la suma completa, obtenemos Vo(R1+R2) = VsR2. Distribuir y reunir los términos deja aislar R1. Evita sustituir datos demasiado pronto si eso oculta el procedimiento.

Comprueba un despeje por sustitución en la fórmula original y revisa unidades y condiciones físicas. Para resistencias positivas y Vs > 0, un divisor pasivo sin carga cumple 0 < Vo < Vs. Si el despeje produce una resistencia negativa en ese modelo, revisa datos e hipótesis. Estos ejemplos son modelos académicos; no describen todos los dispositivos ni autorizan una instalación.

### Ejemplo: Despejar R1 en Vo = Vs·R2/(R1 + R2)

1. R1 + R2 ≠ 0; Vo(R1 + R2) = VsR2
   Por qué: Multiplicamos ambos miembros por el denominador original no nulo.

2. VoR1 + VoR2 = VsR2
   Por qué: Distribuimos Vo sobre los dos términos del paréntesis.

3. VoR1 = VsR2 − VoR2 = R2(Vs − Vo)
   Por qué: Restamos VoR2 en ambos miembros y factorizamos el factor común R2.

4. R1 = R2(Vs − Vo)/Vo, si Vo ≠ 0
   Por qué: Dividimos ambos miembros por Vo; declaramos su condición de no ser cero.

Comprobación: Con Vs = 15 V, Vo = 5 V y R2 = 2 kΩ, R1 = 4 kΩ. La original devuelve 15·2/(4+2) = 5 V. (kΩ·V)/V tiene unidad kΩ.

Error frecuente: Dividir solo una parte de una suma, perder el denominador completo o omitir cuándo puedes dividir por una variable.

Sin mirar: Partiendo de V = IR, escribe cada operación en ambos miembros para obtener I y R. ¿Qué condiciones cambian en cada despeje?

### Para practicar

1. En V = IR ya despejamos I = V/R. Para V = 18 V y R = 6 Ω, introduce I en A.

2. Un divisor ideal sin carga tiene Vs = 15 V, Vo = 3 V y R2 = 2 kΩ. Despeja R1 desde Vo = Vs·R2/(R1+R2) e introduce su valor en kΩ.
   ¿Qué primer paso elimina el denominador completo?
   1) Restar R1+R2 a Vo | 2) Multiplicar ambos miembros por R1+R2, que no es cero | 3) Dividir solo Vs entre R1

3. El modelo v = d/t describe velocidad constante. Si d = 120 m y v = 30 m/s, con d, v y t positivos, despeja t e introduce el tiempo en s.
   ¿Qué fórmula aísla t correctamente bajo estas condiciones?
   1) t = v/d | 2) t = d/v | 3) t = d − v

Bibliografía:

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §2.6 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/2-6-solve-a-formula-for-a-specific-variable

## 11. Incógnitas repetidas, potencias y raíces

Objetivo: Factorizar una incógnita repetida y distinguir una raíz principal de las soluciones de una ecuación cuadrática.

Si una incógnita aparece en varios términos, no la despejes por separado. Reúne sus apariciones y factoriza: ax + bx = (a+b)x. Es la distributiva usada al revés. Para E = ax + bx + c, resta c en ambos miembros y divide por a+b solo si a+b ≠ 0.

El caso a+b = 0 no desaparece: la ecuación queda E = c. Si eso se cumple, todos los x satisfacen la ecuación; si no, ninguno. Una fórmula despejada debe declarar sus restricciones. No dividas una ecuación por x sin pensar que podrías perder una solución x = 0.

La raíz cuadrada principal √16 es 4, pero resolver x² = 16 da dos valores reales: x = 4 y x = −4. Ambos cuadrados valen 16. En general √(x²) = |x|, no x para todos los reales. Si la incógnita representa una magnitud física no negativa, esa condición puede elegir la raíz positiva; hay que decirla, no asumirla.

Elevar al cuadrado ambos miembros puede introducir candidatos que no cumplen la ecuación original. En √(x+5) = 3, el dominio real exige x ≥ −5; al cuadrar obtenemos x = 4 y comprobamos √9 = 3. En √(x+5) = −3, no hay solución real porque una raíz principal no es negativa, aunque cuadrar produzca el mismo candidato. Esta lección inicia el tema; no cubre todas las ecuaciones cuadráticas o radicales.

### Ejemplo: Despejar x en E = ax + bx + c

1. E − c = ax + bx
   Por qué: Restamos c a ambos miembros.

2. E − c = (a + b)x
   Por qué: Factorizamos la incógnita común x; deshacemos la distributiva.

3. x = (E − c)/(a + b), si a + b ≠ 0
   Por qué: Dividimos ambos miembros por el coeficiente total no nulo.

4. Si a+b = 0, revisar E = c: todos los x o ninguno
   Por qué: No podemos dividir entre cero; analizamos ese caso en la ecuación original.

Comprobación: Para E = 14, a = 3, b = 2 y c = 4, x = 2. La original vale 3·2 + 2·2 + 4 = 14.

### Otro ejemplo: Incógnita repetida en paralelo: despejar R2 en Req = R1R2/(R1+R2)

1. Req(R1 + R2) = R1R2, con R1 + R2 ≠ 0
   Por qué: Multiplicamos ambos miembros por el denominador original no nulo.

2. ReqR1 + ReqR2 = R1R2
   Por qué: Distribuimos Req sobre la suma.

3. ReqR1 = R1R2 − ReqR2
   Por qué: Restamos ReqR2 a ambos miembros para reunir las apariciones de R2.

4. ReqR1 = (R1 − Req)R2
   Por qué: Factorizamos la incógnita común R2.

5. R2 = ReqR1/(R1 − Req), si R1 − Req ≠ 0
   Por qué: Dividimos ambos miembros por el coeficiente total; no dividimos entre cero.

Comprobación: Con Req = 2 Ω y R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω. La original da 6·3/(6+3) = 2 Ω y sus denominadores son admisibles.

Error frecuente: Olvidar la raíz negativa al resolver x² = 16, dividir entre un coeficiente que puede ser cero o no comprobar después de elevar al cuadrado.

Sin mirar: Explica por qué √16 = 4 y x² = 16 tiene dos soluciones. ¿Qué condición adicional seleccionaría solo una?

### Para practicar

1. En Req = R1R2/(R1+R2) ya despejamos R2 = ReqR1/(R1−Req). Para Req = 3 Ω y R1 = 6 Ω, completa el valor de R2 en Ω.

2. Resuelve x² = 16. Para el campo numérico introduce la solución negativa y selecciona el conjunto completo.
   ¿Cuál es el conjunto completo de soluciones reales?
   1) Solo 4 | 2) Solo −4 | 3) −4 y 4

3. Resuelve √(x + 5) = 3 e introduce x.
   ¿Qué condición permite la raíz cuadrada real original?
   1) x ≥ −5 | 2) x ≥ 5 | 3) No hay ninguna restricción

Bibliografía:

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §10.1 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/10-1-solve-quadratic-equations-using-the-square-root-property

- OpenStax · Elementary Algebra 2e, §9.6 (original en inglés): https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/9-6-solve-equations-with-square-roots

## 12. Funciones: fórmula, tabla y gráfica

Objetivo: Evaluar una función y relacionar entrada, salida, pendiente y dominio en un modelo sencillo.

Una función asigna a cada entrada de su dominio una sola salida. f(x) se lee «f de x», no f multiplicada por x. Si f(x) = 3x − 2, calcular f(−1) significa sustituir cada x por −1 conservando los paréntesis: 3(−1)−2 = −5. El dominio indica qué entradas admite el modelo.

Una fórmula, una tabla de pares y una gráfica representan la misma relación. En la gráfica ubica entrada en el eje horizontal y salida en el vertical; escribe magnitudes, unidades y escala. Dos puntos bastan para dibujar una recta si ya sabes que el modelo es afín, pero no demuestran que cualquier fenómeno sea una recta.

En y = mx + b, la pendiente m = Δy/Δx expresa cuánto cambia la salida por unidad de entrada; b es la salida cuando x = 0. Solo si b = 0 hay proporcionalidad directa. En un modelo V = (4 Ω)I + 2 V, la pendiente tiene unidad V/A = Ω y la salida inicial es 2 V. No confundas el intercepto con la pendiente.

El dominio físico puede ser más limitado que el dominio algebraico. Aunque una recta pueda evaluarse para cualquier real, un modelo válido para 0 ≤ I ≤ 3 A no permite extrapolar su funcionamiento a 100 A. Más adelante, exponenciales, trigonometría y derivadas ampliarán esta lectura para transitorios y corriente alterna; aquí construimos la base.

### Ejemplo: Interpretar V(I) = (4 Ω)I + 2 V, para 0 ≤ I ≤ 3 A

1. Entrada I en A; salida V en V
   Por qué: Identificamos variables, unidades y dominio antes de sustituir.

2. Tabla (I,V): (0,2), (1,6), (2,10), (3,14)
   Por qué: Evaluamos la fórmula en entradas permitidas; cada par corresponde a un punto de la gráfica.

3. Pendiente = (10−6) V/(2−1) A = 4 V/A = 4 Ω
   Por qué: El cociente entre cambios mide la inclinación, no la salida inicial.

4. V(0) = 2 V; la recta no pasa por el origen
   Por qué: Es una relación afín, no proporcional directa, porque tiene un término fijo no nulo.

Comprobación: Para I = 2 A, la fórmula da 4·2 + 2 = 10 V, igual a la tabla. Dibuja los puntos con ejes y unidades.

Error frecuente: Tratar f(x) como un producto, intercambiar los ejes o extender un modelo fuera de su dominio declarado.

Sin mirar: ¿Qué diferencia hay entre pendiente e intercepto? Dibuja y = 3x y y = 3x + 4 y explica cuál representa proporcionalidad directa.

### Para practicar

1. Para f(x) = 3x − 2 ya sustituimos x = 2: f(2) = 3·2 − 2. Completa el valor.

2. Una recta pasa por (0,4) y (2,10). Calcula su pendiente m.
   ¿Qué interpretación es correcta?
   1) Pendiente 4 e intercepto 3 | 2) Pendiente 3 e intercepto 4 | 3) Es proporcional directa porque crece

3. Un modelo válido para 0 ≤ I ≤ 3 A cumple V(I) = (4 Ω)I + 2 V. Calcula V(2,5 A) en V.

Bibliografía:

- CCH-UNAM · Función lineal (español): https://portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad2/funcion-lineal

# Soluciones · consultar después de intentar

## Números, signos y operaciones

1. 6 + 4 − 13 = 10 − 13 = −3. Al invertir: −3 + 13 − 4 = 6.

2. −9 + 14 + 2 = 5 + 2 = 7. Comprueba: 7 − 2 − 14 = −9. Operación elegida: −9 + 14 + 2.

3. (−24)/(−6) = 4. Comprueba el cociente: 4 × (−6) = −24.

## Fracciones: el tamaño de las partes

1. 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. La mitad también se escribe 0,5.

2. 3/4 = 6/8; 6/8 + 5/8 = 11/8 = 1,375. Es mayor que 1 porque hay once octavos. Operación elegida: 3/4 = 6/8.

3. (−2/3) × (9/4) = −18/12 = −3/2. Comprueba: (−3/2) × (4/9) = −2/3.

## Orden de operaciones y paréntesis

1. 2 + 12 = 14; no es (2 + 3) × 4.

2. 24 ÷ 6 = 4; 4 × 2 = 8; 8 + 3 = 11. Operación elegida: (24 ÷ 6) × 2.

3. −4² = −16 y (−4)² = 16; la suma es 0.

## Potencias y notación científica

1. 7/1000 = 0,007; puedes escribir 7e-3.

2. 2^(3−5−(−1)) = 2⁻¹ = 1/2. Operación elegida: 3 − 5 − (−1) = −1.

3. 2 × 3 × 10^(4−6) = 6 × 10⁻² = 0,06. Comprueba: 20 000 × 0,000003 = 0,06.

## Razones y proporcionalidad

1. 6 × 3 = 18. El cociente costo/cantidad sigue siendo 3.

2. k = 0,20/5 = 0,04 Ω/m; R = 0,04 × 8 = 0,32 Ω. Operación elegida: R/L.

3. Inicialmente I = 24/6 = 4 A. Finalmente I = 24/12 = 2 A. Al duplicar R, I se reduce a la mitad.

## Unidades, prefijos y dimensiones

1. 2,2 × 10⁻³ A = 0,0022 A.

2. 3,6 × (10⁻³)² = 3,6 × 10⁻⁶ m². Operación elegida: 10⁻⁶.

3. 120 ms = 0,120 s; I = 0,36 C / 0,120 s = 3 A. Comprobación: 3 A × 0,120 s = 0,36 C.

## Letras, distribución y términos semejantes

1. 2 × 4 + 6 = 14; la original 2(4+3) también da 14.

2. 2(3a−4)+a = 6a−8+a = 7a−8; con a=2 vale 14−8=6. Operación elegida: 7a − 8.

3. −3x + 6 + 5x = 2x + 6; con x = −1, vale −2 + 6 = 4.

## Ecuaciones: mantener el equilibrio

1. 4x/4 = 20/4; x = 5. Comprobación: 4 × 5 + 8 = 28.

2. 5x − 7 + 7 = 18 + 7; 5x = 25; x = 5. Comprobación: 5 × 5 − 7 = 18. Operación elegida: Sumar 7 a ambos miembros.

3. 6x + 1 = 4x + 9; 2x + 1 = 9; 2x = 8; x = 4. En la original ambos miembros valen 25.

## Ecuaciones con fracciones

1. 5·x/5 = 5·1; x = 5. Comprueba 5/5 + 1/2 = 3/2.

2. 3(x+2) − 2x = 12; 3x + 6 − 2x = 12; x = 6. Comprueba 8/4 − 6/6 = 1. Operación elegida: 3(x+2) − 2x = 12.

3. Para x ≠ 1: 2 = x−1; x = 3. En la original 2/(3−1) = 1. Operación elegida: x = 1.

## Despejes de fórmulas eléctricas

1. I = 18 V/6 Ω = 3 A. Comprueba 3 A × 6 Ω = 18 V.

2. R1 = 2(15−3)/3 = 8 kΩ. Comprueba Vo = 15·2/(8+2) = 3 V. Operación elegida: Multiplicar ambos miembros por R1+R2, que no es cero.

3. vt = d; t = d/v = 120 m/(30 m/s) = 4 s. Comprueba v = 120 m/4 s = 30 m/s. Operación elegida: t = d/v.

## Incógnitas repetidas, potencias y raíces

1. R2 = 18/3 = 6 Ω. Comprueba Req = 6·6/(6+6) = 3 Ω; R1+R2 y R1−Req no son cero.

2. x = −4 y x = 4 son las dos soluciones reales. (−4)² = 16 y 4² = 16. √16 designa solo la raíz principal, 4. Operación elegida: −4 y 4.

3. x+5 = 9; x = 4. Es admisible y √(4+5) = 3. La comprobación original evita aceptar candidatos extraños. Operación elegida: x ≥ −5.

## Funciones: fórmula, tabla y gráfica

1. f(2) = 6 − 2 = 4. El punto correspondiente es (2,4).

2. m = (10−4)/(2−0) = 3. Su fórmula es f(x) = 3x + 4. Operación elegida: Pendiente 3 e intercepto 4.

3. V(2,5 A) = 4 Ω × 2,5 A + 2 V = 12 V. Entre 2 y 3 A, la salida está entre 10 y 14 V.