Exponenciales, logaritmos y carga RC

Antes de empezar, repasa «Potencias y notación científica» y «Unidades, prefijos y dimensiones». Una función exponencial tiene la variable en el exponente. En eˣ, e≈2,71828 es un número positivo: e⁰=1 y eˣ nunca es negativo. Para x negativo, eˣ es menor que uno. En e^(−t/τ), con τ>0 y t≥0, el valor comienza en 1 y disminuye hacia cero. No llega exactamente a cero en un tiempo finito.

El logaritmo natural ln deshace la exponencial: ln(eˣ)=x y e^(ln y)=y para y>0. Si eˣ=y, entonces x=ln y. En números reales, ln(0) y ln de un negativo no están definidos. No confundas ln con log base 10. Para multiplicar argumentos positivos, ln(ab)=ln a+ln b; en general ln(a+b) no es ln a+ln b.

El exponente debe ser adimensional: t y τ deben tener la misma unidad. También el argumento de un logaritmo físico debe ser un cociente sin unidades. Una calculadora con teclas eˣ y ln es suficiente para estos problemas; respeta los paréntesis y redondea al final, no en los pasos intermedios.

En un circuito RC ideal en serie, τ=RC. Usa R en Ω y C en F para obtener τ en segundos. En un circuito más general se utiliza la resistencia equivalente vista por el capacitor. Este modelo supone componentes ideales, una fuente continua constante durante la carga y ninguna otra dinámica relevante.

Carga desde cero: vC(t)=Vs[1−e^(−t/τ)], con origen t=0 al conectar la fuente y Vs>0. Al inicio vC=0; a t=τ alcanza aproximadamente 0,6321Vs; a t=5τ alcanza aproximadamente 0,9933Vs, no el 100 % exacto. Descarga hacia cero: vC(t)=V0e^(−t/τ). Si el valor inicial no es cero o el final no es el indicado, usa vC(t)=Vfinal+(Vinicial−Vfinal)e^(−t/τ).

Para despejar el tiempo de carga hasta una tensión objetivo v, primero divide por Vs: v/Vs=1−e^(−t/τ). Aísla la exponencial, aplica ln y multiplica por −τ: t=−τ ln(1−v/Vs). Para un tiempo positivo y finito debe cumplirse 0<v<Vs. Si v=Vs, el modelo se aproxima asintóticamente: no existe un tiempo finito de carga exacta. Este estudio es académico, no una instrucción para trabajar con capacitores energizados.