Comprender antes de calcular
Eliminar una incógnita sin perder signos
Objetivo: Multiplicar ecuaciones completas y sumarlas para cancelar una variable.
La eliminación combina dos igualdades para hacer desaparecer una incógnita. Puedes sumar miembro izquierdo con miembro izquierdo y derecho con derecho. Para no cambiar el sistema, conserva una ecuación original y la nueva combinación.
Busca coeficientes opuestos. Si una ecuación contiene +2y y la otra −2y, sumarlas cancela y. Si no son opuestos, multiplica una o ambas ecuaciones completas por factores adecuados.
Multiplicar una ecuación por un número significa multiplicar todos sus términos, incluido el miembro derecho. Multiplicar 2x + 3y = 5 por 2 da 4x + 6y = 10. No deja el 5 intacto.
Después de cancelar una incógnita, resuelve la ecuación que queda y sustituye en una original. Usar una original facilita detectar un error cometido durante la combinación.
Sustitución y eliminación son métodos equivalentes para sistemas lineales independientes. Elige el que haga más transparentes las cuentas; el propósito no es memorizar movimientos, sino conservar relaciones válidas.
Ejemplo razonado
Resuelve 3x + 2y = 16 y 2x − 2y = 4.
- Los coeficientes de y son opuestos: +2 y −2.
- Suma las ecuaciones completas: (3x + 2y) + (2x − 2y) = 16 + 4.
- Resulta 5x = 20; divide entre 5: x = 4.
- Sustituye en la primera: 3(4) + 2y = 16.
- 2y = 4; por tanto, y = 2.
- Verifica la segunda: 2(4) − 2(2) = 4.
Comprobación: Ambas igualdades se cumplen; la cancelación no eliminó información del sistema.
Error frecuente: Multiplicar solo los coeficientes de la izquierda o restar sin cambiar todos los signos.
Explica sin mirar: ¿Por qué no puedes combinar dos ecuaciones y descartar las dos originales a la vez?